By Annette Werner
Dieses Lehrbuch bietet eine elementare Einführung in ein mathematisch anspruchsvolles Gebiet der modernen Kryptographie, das zunehmend an praktischer Bedeutung gewinnt. Die relevanten Tatsachen über elliptische Kurven und Public-Key-Kryptographie werden ausführlich erläutert. Dabei werden nur geringe Vorkenntnisse vorausgesetzt, um den textual content für Studierende der Mathematik und Informatik ab dem five. Semester sowie für Praktiker zugänglich zu machen.
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Sample text
Hier ergibt sich 'lj;(t) = g(xo - tj3, Yo + ta, 1) = g(xo - tj3, -~ - ~(xo - tj3), 1) = h(xo - tj3). Wie im zweiten Fall folgt daraus, daB m(P, L, E(F)) gleich der Ordnung der Nullstelle Xo in h ist. Daher ist unser gesuchter Term gerade die Summe der Ordnungen aller Nullstellen dieses Polynoms, die in F liegen. Wenn wir h(x) = g(x, -~ - ~x, 1) berechnen, stellen wir fest, daB es den Grad 3 hat mit hochstem Koeffizienten -1. Uber dem algebraischen AbschluB F konnen wir es also folgendermaBen zerlegen: h(x) = -(x - xd(x - X2)(X - X3) mit gewissen Xl, X2 und X3 in F, die nicht alle verschieden sein mussen.
1 16 > 3. 2, wobei ist. Auch hier ergibt sich sofort durch Berechnung der Ableitungen, daB Cg(F) genau dann nicht-singular ist, wenn Ch2 (F) nicht-singular ist. Mit etwas Geduld konnen wir die Diskriminante der Kurve Ch2 (F) berechnen als 32 2. Elliptische Kurven Es geniigt also zu zeigen, daB unsere Behauptung fUr die Kurve Ch2 (F) gilt. h. wenn seine Diskriminante verschwindet. h. c~ - c~ = ist. Daraus folgt unsere Behauptung. 0 ° Ab sofort werden wir elliptische Kurven Cg(F) auch E(F) nennen.
H. X(XIX2) = X(XdX(X2) gilt. 3) gegeben, falls q = p ist. Nach unserer Beschreibung des quadratischen Charakters sind die Halfte der Elemente in IF; Quadrate. 2 Punkte zahlen 59 erganzen, indem wir X(O) = 0 setzen. Dann hat fUr jedes x E IFq die Gleichung y2 = h(x) genau (X(h(x)) + I)-viele Losungen y in IFq . Wir konnen also aIle Losungen der affinen WeierstraBgleichung durch L (X(h(x)) + 1) XElFq zahlen. Daher folgt, wenn wir noch den Punkt 0 berucksichtigen, #E(IFq ) = 1 + L (X(h(x)) + 1) = 1 + q + XElFq LX(h(x)).