Redécouvrons la géométrie by Coxeter H.S.M., Greitzer S.L.

By Coxeter H.S.M., Greitzer S.L.

Traduction de l’ouvrage publié en langue anglaise sous le titre Geometry Revisited en 1967.
Réimpression par les éditions Jacques Gabay de l’édition publiée par Dunod en 1971.

AVANT-PROPOS (Extrait)

Des enthousiastes sans jugement conduisent l’élève à croire que los angeles géométrie est « hors du courant essentiel des mathématiques » et qu’elle devrait être remplacée par l’analyse ou l. a. théorie des ensembles.

Cette state of affairs inférieure de los angeles géométrie dans les programmes scolaires est peut-être due à ce que les éducateurs connaissent mal l. a. nature de l. a. géométrie et les progrès réalisés au cours du développement de cette dernière. Parmi ces progrès, figurent maints beaux résultats ; par exemple le théorème de Brianchon, le théorème de Feuerbach, le théorème de Petersen-Schoute et le théorème de Morley. Il faut se rappeler, selon l’histoire, qu’Euclide écrivit pour des adultes se préparant à étudier l. a. géométrie. D’autre half, jusqu’au vingtième siècle, l’une des principales raisons justifiant l’enseignement de l. a. géométrie était que los angeles méthode axiomatique de cette dernière constituait, croyait-on, los angeles meilleure creation au raisonnement déductif ; et, naturellement, en vue d’un enseignement efficace, on insistait sur cette méthode. Cependant, quand cela lui convenait, nul géomètre, ancien ou moderne, n’a hésité à utiliser des procédés moins orthodoxes. Si l. a. trigonométrie, los angeles géométrie analytique ou les méthodes vectorielles peuvent l’aider, le géomètre y air of secrecy recours. De plus, il a inventé des ideas modernes, à l. a. fois élégantes et puissantes, qui lui sont propres : l’une d’elles repose sur l’emploi de changes telles que rotations, symétries et homothéties, qui permettent d’abréger los angeles démonstration de certains théorèmes, et, aussi, établissent un lien entre los angeles géométrie, d’une half, los angeles cristallographie et l’art, d’autre half. Le chapitre four est consacré à cet point « dynamique » de los angeles géométrie. Une autre approach « moderne » fait appel à l’inversion qui traite de issues et de cercles en considérant une droite comme un cercle passant par le « point à l’infini ». Le chapitre five en donnera quelques aperçus. Enfin, une troisième procedure est celle de l. a. géométrie projective qui, sans s’attacher aux distances et aux angles, met en lumière l’analyse entre issues et droites (celles-ci étant infiniment étendues et non limitées à de simples segments). Ici, deux issues quelconques sont joints par une droite, et deux droites quelconques se coupent en un point ; de plus, deux droites parallèles sont considérées comme ayant un element commun situé sur « la droite à l’infini ». Dans le chapitre 6, on trouvera quelques symptoms sur ce sujet.

Aujourd’hui encore, los angeles géométrie possède toutes les vertus que les éducateurs lui attribuaient il y a une génération : elle existe toujours dans l. a. nature, et attend qu’on los angeles découvre et qu’on l’apprécie. Pour l’élève, et surtout par ses propriétés projectives, los angeles géométrie ne cesse de constituer une excellente advent à l’axiomatique. Elle possède encore l’attrait esthétique qu’elle a toujours ecu, et los angeles beauté de ses résultats ne s’est pas estompée. En fait, elle est plus utile et même plus nécessaire aux savants et aux mathématiciens qu’elle ne le fut jamais : on le voit en considérant, par exemple, les formes des orbites des satellites artificiels et los angeles géométrie à quatre dimensions dans le continu espace-temps.

Au cours des siècles, l. a. géométrie s’est développée. De nouveaux ideas, de nouvelles méthodes d’action furent forgés : à l’élève, ils apporteront défi et shock. Par les moyens qui nous conviendront le mieux, revenons donc à Euclide ; et, pour nous-mêmes, découvrons quelques-uns des plus récents résultats. Peut-être pourrons-nous, ainsi, retrouver un peu de l’intimidation émerveillée que suscita en nous le prime touch avec los angeles géométrie…

======= desk des matières ======

Chapitre 1 — issues et droites associés à un triangle
    1.1. Loi des sinus
    1.2. Théorème de Jean de Céva
    1.3. issues remarquables
    1.4. Cercles inscrits et ex-inscrits
    1.5. Théorème de Steiner-Lehmus
    1.6. Triangle orthique
    1.7. Triangle complémentaire et droite d’Euler
    1.8. Cercle des neuf points
    1.9. Triangles podaires

Chapitre 2 — Quelques propriétés des cercles
    2.1. Puissance d’un element par rapport à un cercle
    2.2. awl radical de deux cercles
    2.3. Faisceaux de cercles
    2.4. Complément sur les hauteurs et l’orthocentre d’un triangle
    2.5. Droite de Simson
    2.6. Théorème de Ptolémée et sa généralisation
    2.7. Complément sur l. a. droite de Simson
    2.8. Le papillon
    2.9. Théorème de Morley

Chapitre three — issues alignés et droites concourantes
    3.1. Quadrangles ; théorème de Varignon
    3.2. Quadrangles inscriptibles ; formule de Brahmagupta
    3.3. Triangles de Napoléon
    3.4. Théorème de Ménélaüs
    3.5. Théorème de Pappus
    3.6. Triangles homologiques ; théorème de Desargues
    3.7. Hexagones
    3.8. Théorème de Pascal
    3.9. Théorème de Brianchon

Chapitre four — Transformation des figures
    4.1. Translation
    4.2. Rotation
    4.3. Demi-tour
    4.4. Symétrie par rapport à un axe
    4.5. Problème de Fagnano
    4.6. Problème des trois vases
    4.7. Homothétie
    4.8. Similitude
    4.9. changes successives

Chapitre five — creation à l. a. géométrie de l’inversion
    5.1. de issues séparés
    5.2. Rapport anharmonique
    5.3. L’inversion
    5.4. Inversion dans le plan
    5.5. Cercles orthogonaux
    5.6. Théorème de Feuerbach
    5.7. Faisceaux de cercles
    5.8. Écart inversif
    5.9. Fonctions hyperboliques

Chapitre 6 — creation à los angeles géométrie projective
    6.1. Réciprocité polaire
    6.2. Cercle conjugué à un triangle
    6.3. Coniques
    6.4. Foyers et directrices
    6.5. Le plan projectif
    6.6. Coniques à centre
    6.7. Projection stéréographique et projection centrale

Conseils et strategies des exercices
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