By N. Bourbaki
Les Éléments de mathématique de Nicolas Bourbaki ont pour objet une présentation rigoureuse, systématique et sans prérequis des mathématiques depuis leurs fondements.
Ce sixième chaptire du Livre d Intégration, sixième Livre des éléments de mathématique, étend l. a. proposal d intégration à des mesure à valeurs dans des espaces vectoriels de Hausdorff localement convexes.
Il contient également une notice historique.
Ce quantity est une réimpression de l édition de 1959.
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On désigne par Y; l'espace vectoriel des applications f de T dans Fi, telles que f soit scalairement p-mesurable et égale scalairement localement presque partout (pour p) a une application de T dans une partie équicontinue de F'. $' ; par l'espace des applications scalairement localement p-négligeables de T dans FS. Lorsque F vérifie les hypothèses d u 5 1, no 5, prop. 13, les fonctions de 9% sont p-mesurables pour la topologie faible a(F', F ) , mais ne sont pas nécessairement mesurables pour la topologie forte sur F', même si F est un espace de Banach ( r j 1, exerc.
Cn vertu d e (1) et de la rolation 1 z' m ! 0 < q(m) pour z' E Ai. PHOPOSITION 6. - Soient F u n espace loculerner~t convexe skpark quasi-complet, m u n e mesure majorable s u r T a valeurs d a n s F . S i / est u n e fonction numérique essentiellement intc'grable pour toules les tnesures y ( m ) ( q parcourar~t l'ensemble des serni-normes contin,ues s u r F ) , alors f est essentirllemerzt intkgrahle pour m, el l ' o r ~a d' fdm E F . Noiis utiliseroris le résultat auxiliaire suivant. , une famille filtrante croissante de mesures positives sur T .
Vect. , chap. IV, $ 2, no 4, th. 3). Le lemme 1 d u 5 1, no 2 montre donc que S f d m E Fr'. COROLLAIRE 2. -m. F Si Ti est semi-réflexif; on cx. ]dm E pour / essentiellement intégrable pour 3 . Mesures vectorielles majorables. Soit q une semi-norme semi-continue inférieiirement sur F. Nous désignerons par A; l'ensemble des zr E F' tels que 1 ( z', X ) 1 6 q(x) pour tout x E F. C'est le polaire dans F' de l'ensemble des X E F tels que q(x) 6 1 ; pour t o u t X E F , on a q(x) = s u p z' E AG I (x, 8 ' ) !.